Bicentenario de Évariste Galois

Galois a los 15 años (Wikipedia)

[Aviso: sitio sin actualizar, se le invita entre tanto a visitar Matikai.com | Cemati.org, 2012.02.27]

Este 25 de octubre, celebramos el Bicentenario de Évariste Galois (1811-1832), un joven matemático que resolvió el problema general de la solubilidad mediante radicales de polinomios univariables en general, entre otras contribuciones.

Se le invita a visitar los siguientes links: { Happy Birthday at Cambridge | Bob Gardner | Instituto Henri Poincaré | galois-group }

Mucho éxito en su desarrollo matemático

¿Qué hace hoy un matemático?

Recomendamos el video en tres partes, titulado ¿Qué hace hoy un matemático? [por Alberto Nulman Megidin, 2007, UNAM]. Disfrute de esta serie de breves entrevistas a matemáticos mexicanos, y obtenga un excelente acercamiento al tema de la actividad cotidiana actual del matemático.

Gracias a Raúl Zavala del ITT (carrera Ing. en Sistemas Computacionales) por compartir este valioso recurso.

Mucho éxito en su quehacer matemático

Problema Ci-004

Es un enfoque de resolución de problemas, donde uno realmente se apropia de la teoría, y no de un conocimiento efímero, lo que permite ver las matemáticas como poesía. [Nathan Pflueger. Stanford]

Problema Ci-004. Sea f(x)=\displaystyle\frac{\alpha}{1+x^4}cos^2(x^2). Determinar (con al menos cuatro cifras decimales) el valor de \alpha para que f(x) cumpla con ser una función de densidad de probabilidad, en el intervalo [0,\infty).

Se le invita a enviar sus propuestas de solución mediante comentarios a este post.

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[2011.08.03] Sugerencia: Utilizar métodos numéricos.

Mucho éxito en sus exploraciones matemáticas

Nota: para mayores detalles puede revisar la información al pie del Problema Ci-001.

Problema Ci-003

Problema Ci-003 [CSP]. Calcular el área sobre el eje-x acotada superiormente por la polilínea formada por los puntos A_0, A_1, A_2,\dots, A_n,\dots; donde A_0=(0,0) y A_n=(x_n,y_n) para n \ge 1,  con x_n=\alpha +\alpha^2+\alpha^3+\cdots +\alpha^n, y_n=\beta +\beta^2+\beta^3+\cdots +\beta^n, para los valores \alpha =\frac{1}{3} y \beta =2.

Solución: [Presentada el 28 de julio, 2011] por Damian Moreno [Estudiante, Los Alamos, Chile]

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[2011.08.03] Solución por Damian Moreno (2011.07.28). Ya que tanto x_n como y_n corresponden a series geométricas, definimos x_n=\frac{1}{3}\frac{1-(1/3)^n}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^n). así mismo, y_n=2\frac{1-2^n}{1-2}=(-2)(1-2^n)=2(2^n-1). Con lo cual podemos definir \Delta x_n=x_n-x_{n-1}=\alpha^n=(\frac{1}{3})^n, y \Delta y_n=y_n-y_{n-1}=\beta^n=2^n. Si consideramos A_n como el área en el intervalo (x_{n-1},x_n), entonces el área pedida será A=\Sigma_{n=1}^\infty A_n. Ya que A_n=\frac{1}{2}\Delta x_n*\Delta y_n+\Delta x_n \cdot y_{n-1}, entonces podemos escribir A_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^n 2^n +(\frac{1}{3})^n\cdot 2 (2^{n-1}-1), que una vez simplificado queda como A_n=(\frac{2}{3})^{n-1}-2(\frac{1}{3})^n. Ahora, para encontrar A aplicamos sencillamente sumatoria, desde 1 hasta \infty [a las series geométricas implicadas] para obtener A=\frac{1}{1-(2/3)}-2\frac{1/3}{1-(1/3)}=3-2\frac{1}{2}=3-1=2.

Mucho éxito en sus reflexiones matemáticas

Problema Ci-002

Problema Ci-002 [CSP]. Si \sum^\infty_{k=0}cos^k(\alpha /40)=2011. ¿Cuánto vale \alpha?.

Solución. [Presentada el 27 de julio 2011] por Damian Moreno (Estudiante, Los Alamos, Chile).

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[2011.07.22] Sugerencia: pensar en términos de una serie geométrica.

[2011.07.28] Solución por Damian Moreno: Se observa que cos(\alpha /40) es una constante, llamémosla k , la cual forma la serie geométrica 1+k+k^2+k^3+\cdots =2011.  Sabemos además que el límite de la serie geometrica (con valor absoluto de x  menor que 1) es \frac{1}{1-r}. Por tanto, reemplazando los valores tenemos 1/(1-k)=2011, de donde k=2010/2011, esto es cos(\alpha /40)=2010/2011 y por tanto \alpha /40=arccos(2010/2011), por lo cual \alpha =40*arccos(2010/2011) (es decir \alpha \approx 1.261499).

Mucho éxito en sus reflexiones matemáticas

Solución Prob. Ci-001

Problema Ci-001: Especifique las funciones max\{x,y\} y min\{x,y\} sin usar operadores de comparación ni condicionales directamente. Considere que x,y\in\mathbb{R}. Sugerencia: utilizar la función valor absoluto.

Solución: [Presentada el 24 de junio 2011 por Damian Moreno (Estudiante. Los Alamos, Chile)

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Sea d=|x-y| la distancia entre los dos puntos, entonces es claro que min(x,y)+d=max(x,y) [1]. Por otro lado se tiene que min(x,y)\cdot max(x,y)=xy, por lo que \frac{xy}{max(x,y)}=min(x,y) [2]. Sustituyendo [2] en [1] previo, obtenemos: \frac{xy}{max(x,y)}+d=max(x,y), de donde obtenemos la ecuación cuadrática max^2(x,y)-d\cdot max(x,y)-xy=0, resolviendo la ecuación cuadrática y tomando la raiz positiva obtenemos: max(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|) y en consecuencia por [1] min(x,y)=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|).

Nota: [Justificación alternativa] Ya que |x-y| representa la distancia entre los puntos, y \frac{1}{2}(x+y) es el promedio de ambos números, entonces es evidente que restando al promedio la mitad de |x-y| obtenemos el min(x,y)=\frac{1}{2}(x+y-|x-y|). Análogamente, sumando al promedio la mitad de |x-y| obtenemos max(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|).

Problema Ci-001

Esta es una invitación abierta a resolver problemas de matemáticas publicados aperiódicamente en Cemati (en función de sus tiempos de respuesta). El primer comentario que tenga una solución correcta se incorporará al post Solución problema Ci-001, dando el crédito al pensador matemático que la haya compartido. Gracias de antemano por sus propuestas de solución.

Problema Ci-001 [CSP]. Especifique las funciones max\{x,y\} y min\{x,y\} sin usar operadores de comparación ni condicionales directamente. Considere que x,y\in\mathbb{R}. Sugerencia: utilizar la función valor absoluto.

Nota: Resuelto por Damian Moreno (Estudiante. Los Alamos, Chile) este 24 de junio. Felicitaciones. Gracias por su participación.

Mucho éxito en sus reflexiones matemáticas

Observaciones:

  1. Si se utiliza alguna fuente o referencia bibliográfica,  agradeceremos darle el crédito correspondiente en su comentario.
  2. La complejidad o grado de dificultad de los problemas se indicará adjunto al número del problema según la percepción del proponente en:
    • Sencillos:  Sin asterisco
    • Intermedios: Un asterisco (*)
    • Avanzados: Dos asteriscos (**)
    • Complejidad desconocida: (°)
  3. Se utilizarán los siguientes códigos adjuntos al número del problema según los tres casos siguientes:
    1. [CSP] Con solución por proponente
    2. [SSP] Sin solución por proponente
    3. [Abierto] Indica que en base a los expertos del campo, el problema aún está sin solución en la comunidad matemática (al momento de su publicación)
  4. Cuando se reciba una solución correcta, se indicará al final del planteamiento del problema con el texto [Resuelto] y se tendrá asociado a éste, el link correspondiente al post con la solución, al momento de ser publicado. Nota: Como alternativa, se presentará la solución correcta indicando fecha y el proponente, en un texto adjunto al mismo post del problema.

Hard Problems: The Road to the World’s Toughest Math Contest

La película Hard Problems, es un documental que describe de forma sorprendente, la formación y anécdotas de un grupo de muchachos (2006 USA IMO Team) embarcados en una Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO)

Ya que en estos próximos días (26 y 27 de mayo) celebraremos nuestro XXVII Concurso Regional de Ciencias Básicas. Les invitamos a unirse en esta fiesta resolviendo algún problema matemático interesante (ver página de Resolución de Problemas)

Mucho éxito en sus competencias matemáticas

Strange Attractors: poemas de amor y matemáticas

(c) A. K. Peters, Ltd. (Improper use? -send message to insight (at) cemati.com)

Se recomienda la adquisición/lectura del libro Strange Attractors, editado por Sarah Glaz y JoAnne Growney (A. K. Peters, 2008), con acceso limitado en Preview (Books de Google). Contiene una excelente colección de poemas con sabor matemático.

Se le invita a visitar la reseña en Notices (AMS). De la rica lista de poetas en la antología podemos mencionar algunos matemáticos como: Jakob Bernoulli (p. 130), Lewis Carroll (p. 134), Marion Deutsche Cohen (p. 137-8) y James Clark Maxwell (p. 169).  Entre los poetas clásicos encontramos por ejemplo:

Referencias contextuales:

Que disfruten esta sorprendente colección.

Paul Erdös (1913-1996)

Un 26 de marzo, nace en Hungría, Paul Erdös (1913-1996) [pron. Érdish], uno de los más grandes matemáticos del siglo XX. Les invitamos a disfrutar de las siguientes referencias.

Mucho éxito en sus celebraciones matemáticas